跳到主要内容

1.14 无功功率

许多实际电路包含电阻、电感和电容元件的组合。这些元件会导致电气供应参数（如电压和电流）之间出现相位差。

由于电压和电流的行为，尤其是当它们受到这些元件的影响时，功率会以不同的形式出现。

在交流电路中，电压和电流的振幅会随着时间的推移而不断变化。由于功率是电压与电流的乘积，因此当电流和电压对齐时，功率将达到最大值。

这意味着电流和电压波形的零点和最大点同时出现。这可以被称为有效功率。

在电感或电容元件的情况下，电压和电流之间存在90°的相位差。因此，每当电压或电流为零时，功率的值将始终为零。

这不是一个理想的情况，因为即使电源正在产生功率，负载端也没有进行任何工作。这种功率被称为无功功率。让我们简要讨论一下交流电路中这些功率的形式。

交流电路中的功率​

任何电路中的功率都可以通过将该电路中的电压和电流值相乘来获得。这适用于直流电路和交流电路。

即，功率 =（电流值）×（电压值）

P=V×IP = V \times I

功率的单位是瓦特。在直流电路和没有非线性元件的纯交流电路中，电流和电压波形是“同相”的。

因此，该电路在任何瞬间的功率是通过将电压和电流相乘获得的。然而，在交流电路的情况下，情况并非如此（如上所述，存在相位差）。

alt text

考虑上述电路，其中交流电源连接到一个负载。电路中的电压和电流表示为：

v=Vmsin⁡ωt⇒v=2Vsin⁡ωtv = V_m \sin \omega t \Rightarrow v = \sqrt{2} V \sin \omega t
i=Imsin⁡ωt⇒i=2Isin⁡(ωt±ϕ)i = I_m \sin \omega t \Rightarrow i = \sqrt{2} I \sin (\omega t \pm \phi)

其中 V(=Vm/2)V (= V_m/\sqrt{2}) 和 I(=Im/2)I (= I_m/\sqrt{2}) 分别是施加电压和流过电路的电流的有效值（RMS）。ϕ\phi 是电压和电流之间的相位差，其中正号表示超前相位角，负号表示滞后相位角。

那么，电源向负载提供的瞬时功率为：

p=vi=2VIsin⁡ωtsin⁡(ωt±ϕ)p = vi = 2VI \sin \omega t \sin (\omega t \pm \phi)
=VI(cos⁡ϕ−cos⁡(2ωt±ϕ))= VI (\cos \phi - \cos (2\omega t \pm \phi))
p=VIcos⁡ϕ(1−cos⁡2ωt)±VIsin⁡ϕsin⁡2ωtp = VI \cos \phi (1 - \cos 2\omega t) \pm VI \sin \phi \sin 2\omega t

上述功率方程包含两个项，分别是：

  • 与 VIcos⁡ϕVI \cos \phi 成正比的项，围绕平均值 VIcos⁡ϕVI \cos \phi 波动；
  • 与 VIsin⁡ϕVI \sin \phi 成正比的项，以电源频率的两倍波动，在一个周期内的平均值为零。

因此，交流电路中有3种功率形式。它们是：

  • 有功功率（或真实功率、实际功率）
  • 无功功率
  • 视在功率

有功功率​

在电路中实际被消耗或执行有用工作的功率被称为有功功率（或真实功率、实际功率）。它的单位是瓦特，实际中在电力系统中以千瓦（kW）和兆瓦（MW）为单位进行测量。

它用大写字母 PP 表示，等于 p=VIcos⁡ϕp = VI \cos \phi 的平均值。它是电气系统的期望输出，用于驱动电路或负载。

P=VIcos⁡ϕP = VI \cos \phi

无功功率​

上述推导表达式的第二项的平均值为零，因此该部分的功率贡献为零。与 VIsin⁡ϕVI \sin \phi 成正比的部分被称为无功功率，用字母 QQ 表示。

尽管它是一种功率，但由于它是一种非有功功率，因此不以瓦特为单位测量，而是以乏（VAR，Volt-Amperes-Reactive）为单位。这种无功功率的值可以是负数或正数，具体取决于负载的功率因数。

这是因为电感性负载消耗无功功率，而电容性负载产生无功功率。

Q=VIsin⁡ϕQ = VI \sin \phi

无功功率的意义​

无功功率是总功率的一个组成部分，它在电路或线路中来回传输。它可以被视为能量随时间的变化率，这种能量在正半周期间从电源流向无功元件，而在负半周期间从无功元件返回到电源。因此，它永远不会被负载消耗。

从一般意义上讲，这种虚功率根本不是功率，而只是电流的无功分量的一种功率类度量。如果存在过多的无功功率，功率因数会大大降低。这种低功率因数在运行效率和运行成本方面是不理想的。

此外，这种功率会导致从电源中吸取额外的电流，从而导致额外的损耗和设备容量的增加。这就是为什么这种功率被戏称为电力线路的“胆固醇”。

为了减少损耗并增加现有设备的容量，公用事业公司使用无功补偿技术或功率因数校正设备。通常，这些无功补偿技术在负载端实现。

然而，这种无功功率对于产生感应设备（如变压器、交流电机等）运行所需的磁场是有用的。它还有助于调节大功率供电机制中的电压。

视在功率​

有功功率（或真实功率）和无功功率的复数组合称为视在功率。不考虑任何相位角，电压和电流的乘积给出了视在功率。视在功率对于对电力设备进行额定是有用的。

它也可以表示为电流的平方乘以电路的阻抗。它用字母 SS 表示，以伏安（VA）为单位，实际单位包括千伏安（kVA）和兆伏安（MVA）。

视在功率 = 有效电压 × 有效电流

视在功率,S=V×I\text{视在功率}, S = V \times I

在复数形式中，S=VI∗S = V I^*

S=V∠0∘I∠ϕ(对于滞后负载电流)S = V \angle 0^\circ I \angle \phi \quad (\text{对于滞后负载电流})
S=VI∠ϕS = V I \angle \phi
S=VIcos⁡ϕ+jVIsin⁡ϕS = V I \cos \phi + jV I \sin \phi
S=P+jQS = P + jQ

或者 S=I2ZS = I^2 Z

功率三角形​

有功功率、无功功率和视在功率之间的关系可以通过将这些量表示为矢量来表示，这种方法也被称为功率三角形法，如下图所示。在这个相量图中，电压被视为参考矢量。电压和电流的相量图是功率三角形形成的基础。

alt text

在图（a）中，电流滞后于施加的电压 ϕ\phi 角。电流的水平分量是 Icos⁡ϕI \cos \phi，垂直分量是 Isin⁡ϕI \sin \phi。如果将每个电流相量乘以电压 VV，则可以得到如图（b）所示的功率三角形。

有功功率由与电压同相的分量 Icos⁡ϕI \cos \phi 提供，而无功功率由正交分量产生。

因此，视在功率（或三角形的斜边）是通过将有功功率和无功功率矢量组合得到的。

根据毕达哥拉斯定理，两个相邻边（有功功率和无功功率）的平方和等于对角线（视在功率）的平方，即：

(视在功率)2=(有功功率)2+(无功功率)2(\text{视在功率})^2 = (\text{有功功率})^2 + (\text{无功功率})^2
S2=P2+Q2S^2 = P^2 + Q^2
S=P2+Q2S = \sqrt{P^2 + Q^2}

其中：

  • SS 是以千伏安（kVA）为单位的视在功率；
  • QQ 是以千乏（kVAR）为单位的无功功率；
  • PP 是以千瓦（kW）为单位的有功功率。

就电阻、电感和阻抗元件而言，功率形式可以表示为：

有功功率 P=I2RP = I^2 R

无功功率 Q=I2XQ = I^2 X

视在功率 S=I2ZS = I^2 Z

其中：

  • XX 是电感；
  • ZZ 是阻抗。

功率因数​

功率因数是电压和电流之间的夹角的余弦值。功率因数可以用上述讨论的功率形式来表示。考虑上述图中的功率三角形，功率因数是有功功率与视在功率的比值。功率因数定义了电路的效率。

功率因数 (PF)=有功功率（瓦特）视在功率（伏安）\text{功率因数 (PF)} = \frac{\text{有功功率（瓦特）}}{\text{视在功率（伏安）}}
PF=VIcos⁡ϕVI\text{PF} = \frac{VI \cos \phi}{VI}
PF=cos⁡ϕ\text{PF} = \cos \phi

例题

如果一个100V、50Hz的交流电源连接到一个阻抗为20 + j15欧姆的负载上，那么请计算流过电路的电流、有功功率、视在功率、无功功率和功率因数。

alt text

已知，Z=R+jXL=20+j15 ΩZ = R + jX_L = 20 + j15 \ \Omega

将阻抗转换为极坐标形式，可得

Z=25 ∠36.87∘ ΩZ = 25 \ \angle 36.87^\circ \ \Omega

流过电路的电流为

I=VZ=100 ∠0∘25 ∠36.87∘I = \frac{V}{Z} = \frac{100 \ \angle 0^\circ}{25 \ \angle 36.87^\circ}
I=4 ∠−36.87∘ AI = 4 \ \angle -36.87^\circ \ \text{A}

有功功率 P=I2R=42×20=320 WP = I^2 R = 4^2 \times 20 = 320 \ \text{W}

或者 P=VIcos⁡ϕ=100×4×cos⁡(36.87∘)=320.04≈320 WP = VI \cos \phi = 100 \times 4 \times \cos (36.87^\circ) = 320.04 \approx 320 \ \text{W}

视在功率 S=VI=100×4=400 VAS = VI = 100 \times 4 = 400 \ \text{VA}

无功功率 Q=S2−P2Q = \sqrt{S^2 - P^2}

Q=4002−3202=240 VARQ = \sqrt{400^2 - 320^2} = 240 \ \text{VAR}

功率因数 PF=cos⁡ϕ=cos⁡36.87∘=0.80\text{PF} = \cos \phi = \cos 36.87^\circ = 0.80（滞后）。